Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami

Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Rumus Matematika Dasar mencoba merangkum materi ini dari berbagai sumber seperti bisa kalian simak di bawah ini:

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g      d.  (f o g) (2)

b.    g o f      e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)          f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)      = -4x + 4

      f (g (x))      = -4x + 4

2 (g (x)) + 2     = -4x + 4

        2 g (x)      = -4x + 2

           g (x)      =  -4x + 2

                                      2

           g (x)      = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

Demikian sedikit ulasan yang dapat kami saya uraikan seputar materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk menambah pengetahuan kalian mengenai materi matematika tersebut. mungkin pada kesempatan yang lain saya akan menambahkan beberapa contoh soal mengenai materi ini. jika merasa bingung atau memiliki pertanyaan, silahkan disampaikan melalui kolom komentar yang ada di bawah. sampai jumpa di materi matematika selanjutnya.

Limit Fungsi.

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Messi hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 110 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit. Pada artikel ini kita akan mempelajari Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsi yang dimaksud adalah "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut adalah notasi limit.

Definisi/Pengertian Limit Fungsi

       Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan f

sebuah fungsi f:R→R dan misalkan L dan a bilangan real.
limx→af(x)=L jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati a .

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L

.

Penyelesaian limit fungsi

       Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan

Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi f(x)=x+1 untuk x mendekati 2?
Penyelesaian :
*). Bentuk soal bisa ditulis : limx→2(x+1)=...?
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai x yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi (x+1) , hasilnya terlihat pada tabel berikut.

*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi f(x)=x+1 untuk x mendekati 2 adalah 3. Sehingga nilai limx→2(x+1)=3 .
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya.

Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu

       Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan limx→a−f(x)

. Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan limx→a+f(x) .
Artinya, jika nilai limx→a−f(x)=L dan limx→a+f(x)=L , maka nilai limx→a−f(x)=limx→af(x)=limx→a+f(x)=L atau limx→af(x)=L .

Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati c

.

Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Contoh :
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak :
f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1
untuk x mendekati 1.?
penyelesaian :
*). Keterangan fungsi :
Jika nilai x≤1 maka berlaku f(x)=x2
Jika nilai x>1 maka berlaku f(x)=x+1

*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk x mendekati 1.

*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel.
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau limx→1−f(x)=1
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau limx→1+f(x)=2
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1 untuk x mendekati 1 tidak mempunyai limit.
*). Grafik fungsi f(x) untuk x mendekati 1.

Jadi, fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1 untuk x mendekati 1 tidak mempunyai limit.

TURUNAN DAN JENISNYA

Aplikasi lainnya dari turunan adalah untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya. Setiap fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pasti memiliki yang namanya titik balik baik titik puncak maupun titik lembah yang sering disebut dengan titik balik maksimum dan titik balik minimum. Kumpulan semua titik balik dan titik belok tersebut disebut dengan titik stasioner.

Perhatikan grafik fungsi y=f(x) berikut ini,

         Dari grafik di atas, titik A, B, C, D, dan E disebut titik-titik stasioner dengan B dan D adalah titik balik minimum, A dan C adalah titik balik maksimum, serta titik E adalah titik belok. Pertanyaannya adalah bagaimanan cara menentukan semua titik-titik tersebut? Nah disinilah turunan berperan sangat penting dalam menentukan titik-titik stasioner tersebut. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", dan "turunan kedua suatu fungsi".

Menentukan Titik Stasioner dan Nilai stasioner suatu fungsi

       Misalkan terdapat fungsi y=f(x) yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk menentukan titik stasionernya kita harus menentukan nilai x terlebih dulu dengan cara menggunakan syarat stasioner yaitu :
Syarat Stasioner : f′(x)=0 (turunan pertama = 0).

       Dari syarat stasioner f′(x)=0 , akan kita peroleh nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja x=c yang memenuhi f′(c)=0. Akan kita peroleh :
Titik (c,f(c)) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi y=f(c) disebut sebagai Nilai stasionernya.

Catatan :
*). Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan f′(x)=0 bisa lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk menentukan jenis stasionernya, ada dua cara yaitu menggunakan turunan pertama atau menggunakan turunan kedua.

Contoh :
1). Tentukan titik dan nilai stasioner dari fungsi-fungsi berikut :
a). f(x)=13x3−x2−8x+1
b). f(x)=sin(2x) untuk 0≤x≤360∘
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai x berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : f(x)=13x3−x2−8x+1→f′(x)=x2−2x−8
Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0x2−2x−8=0(x+2)(x−4)=0x=−2∨x=4
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai x=−2 dan x=4 ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk x=−2→f(−2)=13(−2)3−(−2)2−8.(−2)+1=313 .
Sehingga untuk x=−2 , nilai stasionernya 313 dan titik stasionernya (−2,313) .
Untuk x=4→f(4)=13(4)3−(4)2−8.(4)+1=−773 .
Sehingga untuk x=4 , nilai stasionernya −773 dan titik stasionernya (4,−773) .
Jadi, titik stasionernya adalah (−2,313) dan (4,−773) .

b). Menentukan nilai x berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : f(x)=sin(2x)→f′(x)=2cos(2x)
Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=02cos(2x)=0cos(2x)=02x=90∘→x=45∘2x=270∘→x=135∘2x=450∘→x=225∘2x=630∘→x=315∘
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, silahkan baca materinya lebih lanjut pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai x={45∘,135∘,225∘,315∘} ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk x=45∘→f(45∘)=sin(2×45∘)=sin90∘=1 .
Sehingga untuk x=45∘ , nilai stasionernya 1 dan titik stasionernya (45∘,1) .
Untuk x=135∘→f(135∘)=sin(2×135∘)=sin270∘=−1 .
Sehingga untuk x=135∘ , nilai stasionernya −1 dan titik stasionernya (135∘,−1) .
Untuk x=225∘→f(225∘)=sin(2×225∘)=sin450∘=1 .
Sehingga untuk x=225∘ , nilai stasionernya 1 dan titik stasionernya (225∘,1) .
Untuk x=315∘→f(315∘)=sin(2×315∘)=sin630∘=−1 .
Sehingga untuk x=315∘ , nilai stasionernya −1 dan titik stasionernya (315∘,−1) .
Jadi, titik stasionernya adalah {(45∘,1),(135∘,−1),(225∘,1),(315∘,−1)} .

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan pertama

       Misalkan fungsi y=f(x) dan x=c memenuhi syarat stasioner f′(c)=0, artinya kita peroleh nilai stasionernya f(c) dan titik stasionernya (c,f(c)). Kita akan uji titik disebelah kiri (x=a) dan sebelah kanan (x=b) pada x=c yaitu a<c<b dengan cara substitusi titik yang mau diuji ke fungsi turunan pertamanya untuk menentukan jenis stasionernya. Ada 4 kemungkinan yang akan kita peroleh yaitu :
i). Jika nilai f′(a)>0 dan f′(b)>0 , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,

ii). Jika nilai f′(a)>0 dan f′(b)<0 , maka jenis stasionernya adalah maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai f′(a)<0 dan f′(b)>0 , maka jenis stasionernya adalah minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai f′(a)<0 dan f′(b)<0 , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,

Contoh :
2). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut f(x)=13x3−52x2+6x
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : f(x)=13x3−52x2+6x
f′(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)

*). Menentukan nilai x dari syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0x2−5x+6=0(x−2)(x−3)=0x=2∨x=3
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : f(x)=13x3−52x2+6x
Untuk x=2 nilai stasionernya f(2)=13.23−52.22+6.2=423
sehingga titik stasionernya : (2,423)
Untuk x=3 nilai stasionernya f(3)=13.33−52.32+6.3=412
sehingga titik stasionernya : (3,412)
*). Menentukan jenis stasionernya :
Kita peroleh nilai x=2 dan x=3, akan kita uji titik disekitar 2 dan 3 dengan mensubstitusikannya ke turunan pertama yaitu f′(x)=(x−2)(x−3) .
Untuk x=0 disebelah kirinya 2,
x=0→f′(0)=(0−2)(0−3)=6 (positif),
Untuk x=2,5 diantara 2 dan 3,
x=2,5→f′(2,5)=(2,5−2)(2,5−3)=−0,25 (negatif),
Untuk x=4 disebelah kanannya 3,
x=4→f′(4)=(4−2)(4−3)=2 (positif),
Garis bilangannya :

Dari garis bilangan terlihat bahwa ,
untuk x=2 nilai stasionernya adalah 423 jenisnya maksimum.
Sehingga titik stasioner (2,423) jenisnya titik balik maksimum.

untuk x=3 nilai stasionernya adalah 412 jenisnya minimum.
Sehingga titik stasioner (3,412) jenisnya titik balik minimum.

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan Kedua

       Misalkan fungsi y=f(x) dan x=c memenuhi syarat stasioner f′(c)=0, artinya kita peroleh nilai stasionernya f(c) dan titik stasionernya (c,f(c)). Untuk menentukan jenis stasionernya, kita akan menggunakan turunan kedua, artinya x=c kita substitusikan ke turunan kedua dengan 3 kemungkinan yaitu :
i). Jika f′′(c)>0 maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika f′′(c)=0 maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika f′′(c)<0 maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.

Contoh :
3). Tentukan jenis stasioner dari fungsi pada soal nomor 2 di atas.
Penyelesaian :
Fungsi awal : f(x)=13x3−52x2+6x
f′(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)
f′′(x)=2x−5
*). Dari perhitungan sebelumnya diperoleh x=2 dan x=3.
*). Cek turunan kedua untuk menentukan jenis stasionernya :
untuk x=2→f′′(2)=2.2−5=−1<0 (negatif), artinya pada saat x=2 jenis stasionernya adalah maksimum.
untuk x=3→f′′(3)=2.3−5=1>0 (positif), artinya pada saat x=3 jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, jenis stasioner yang diperoleh sama dengan cara menggunakan turunan pertama pada contoh soal nomor 2.

4). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x)=sin(2x) untuk 0≤x≤360∘
Penyelesaian :
*). Soal contoh 4 ini sama dengan soal contoh 1 bagian b, artinya kita telah memperoleh nilai x yang memenuhi syarat stasioner yaitu : x={45∘,135∘,225∘,315∘}
*). Menentukan turunan kedua :
fungsi awal : f(x)=sin(2x)
f′(x)=2cos2x dan f′′(x)=−4sin2x
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : f′′(x)=−4sin2x
Untuk x=45∘→f′′(45∘)=−4sin2×45∘=−4sin90∘=−4 (negatif), artinya pada saat x=45∘ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk x=135∘→f′′(135∘)=−4sin2×135∘=−4sin270∘=4 (positif), artinya pada saat x=135∘ jenis stasionernya adalah minimum.
Untuk x=225∘→f′′(225∘)=−4sin2×225∘=−4sin450∘=−4 (negatif), artinya pada saat x=225∘ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk x=315∘→f′′(315∘)=−4sin2×315∘=−4sin630∘=4 (positif), artinya pada saat x=315∘ jenis stasionernya adalah minimum.

5). Diketahui fungsi y=mx3+nx2 dengan m dan n konstan, memiliki titik stasioner pada titik (1,−1). Tentukan nilai m dan n.
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : y=mx3+nx2
f′(x)=3mx2+2nx
*). Titik (1,−1) adalah titik stasioner, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik sehingga bisa kita substitusikan langsung ke fungsinya :
(x,y)=(1,−1)→y=mx3+nx2−1=mx.13+n.12m+n=−1....pers(i)
*). Syarat stasioner : f′(x)=0
Karena titik (1,−1) adalah titik stasioner, maka untuk x=1 (absisnya) pasti memenuhi syarat stasioner yaitu f′(1)=0
f′(x)=3mx2+2nxf′(1)=03m.12+2n.1=03m+2n=0....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
m+n=−1×22m+2n=−23m+2n=0×13m+2n=0−−n=−2n=2
Pers(i) : m+n=−1→m+(2)=−1→m=−3 .
Jadi, kita peroleh nilai m=−3 dan n=2 .

6). Fungsi f(x)=ax4+x2+3b memiliki titik belok (1,−3). Tentukan nilai 6a−18b ?
Penyelesaian :
*). Titik (1,−3) adalah titik belok, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik fungsinya sehingga bisa kita substitusi ke fungsinya.
(x,y)=(1,−3)→y=ax4+x2+3b−3=a.14+12+3ba+3b=−4....pers(i)
*). Menentukan turunan kedua fungsi f(x)=ax4+x2+3b
f′(x)=4ax3+2x dan f′′(x)=12ax2+2
*). Syarat titik belok adalah f′′(x)=0
*). Titik (1,−3) adalah titik belok sehingga x=1 (absisnya) memenuhi syarat titik belok yaitu f′′(1)=0

f′′(1)=0→12a.12+2=0→a=−16

Pers(i) : a+3b=−4→−16+3b=−4→b=−2318

Jadi, nilai 6a−18b=6(−16)−18(−2318)=−1+23=22

7). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x)=4x5−5x4?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : f(x)=4x5−5x4

f′(x)=20x4−20x3=20x3(x−1)

dan f′′(x)=80x3−60x2

*). Menentukan nilai x

dari syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=020x4−20x3=020x3(x−1)=0x=0∨x=1

*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : f(x)=4x5−5x4

Untuk x=0

nilai stasionernya f(0)=4.05−5.04=0

sehingga titik stasionernya : (0,0)

Untuk x=1

nilai stasionernya f(1)=4.15−5.14=−1

sehingga titik stasionernya : (1,−1)

*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : f′′(x)=80x3−60x2

Untuk x=0→f′′(0)=80.03−60.02=0

, artinya pada saat x=0

jenis stasionernya adalah titik belok.
Untuk x=1→f′′(1)=80.13−60.12=20

(positif) , artinya pada saat x=1

jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, diperoleh titik stasioner (0,0) jenisnya titik belok dan titik stasioner (1,20) jenisnya titik balik minimu